Class 9 maths polynomial chapter 2 exercise 2.4

कक्षा 9 गणित – पाठ 2: बहुपद (Polynomials)

व्यायाम 2.4 – हल

प्रश्न 1: उपयुक्त सर्वसमिकाओं को प्रयोग करके निम्नलिखित गुणनफल ज्ञात कीजिए:

• (i) (x + 4)(x + 10)
• (ii) (x + 8)(x - 10)
• (iii) (3x + 4)(3x - 5)
• (iv) (y² + 3/2)(y² - 3/2)
• (v) (3 - 2x)(3 + 2x)

उत्तर 1:

• (i) (x + 4)(x + 10) = x² + 14x + 40
• (ii) (x + 8)(x - 10) = x² - 2x - 80
• (iii) (3x + 4)(3x - 5) = 9x² - 3x - 20
• (iv) (y² + 3/2)(y² - 3/2) = y⁴ - 9/4
• (v) (3 - 2x)(3 + 2x) = 9 - 4x²

प्रश्न 2: सीधे गुणा किए बिना निम्नलिखित गुणनफलों के मान ज्ञात कीजिए:

• (i) 103 × 107
• (ii) 95 × 96
• (iii) 104 × 96

उत्तर 2:

• (i) 103 × 107 = 11021
• (ii) 95 × 96 = 9120
• (iii) 104 × 96 = 9984

प्रश्न 3: उपयुक्त सर्वसमिकाओं को प्रयोग करके निम्नलिखित का गुणनखंड कीजिए:

• (i) 9x² + 6xy + y²
• (ii) 4y² − 4y + 1
• (iii) x² − y²/100

उत्तर 3:

• (i) 9x² + 6xy + y² = (3x + y)²

• (ii) 4y² − 4y + 1 = (2y)² − 2 × 2y × 1 + 1² = (2y − 1)²
• (iii) x² − y²/100 = x² − (y/10)² = (x + y/10)(x − y/10)

प्रश्न 4: उपयुक्त सर्वसमिकाओं का प्रयोग करके निम्नलिखित का विस्तार कीजिए:

• (i) (x + 2y + 4z)²
• (ii) (2x − y + z)²
• (iii) (−2x + 3y + 2z)²
• (iv) (3a − 7b − c)²
• (v) (−2x + 5y − 3z)²
• (vi) [1/4 a − 1/2 b + 1]²

उत्तर 2:

• (i) (x + 2y + 4z)² = x² + 4y² + 16z² + 4xy + 16yz + 8xz
• (ii) (2x − y + z)² = 4x² + y² + z² − 4xy − 2yz + 4xz
• (iii) (−2x + 3y + 2z)² = 4x² + 9y² + 4z² − 12xy + 12yz − 8xz
• (iv) (3a − 7b − c)² = 9a² + 49b² + c² − 42ab + 14bc − 6ca
• (v) (−2x + 5y − 3z)² = 4x² + 25y² + 9z² − 20xy − 30yz + 12xz
• (vi) [1/4 a − 1/2 b + 1]² = 1/16 a² + 1/4 b² + 1 − 1/4 ab − b + 1/2 a

प्रश्न 5: निम्नलिखित बहुपदों को गुणनखंडित कीजिए (Factorize):

• 4x² + 9y² + 16z² + 12xy − 24yz − 16xz
• 2x² + y² + 8z² − 2√2 xy + 4√2 yz − 8xz

उत्तर 5:

• 4x² + 9y² + 16z² + 12xy − 24yz − 16xz = (2x + 3y − 4z)²
• 2x² + y² + 8z² − 2√2 xy + 4√2 yz − 8xz = (√2 x − y − 2√2 z)²

प्रश्न 6: निम्नलिखित बहुपदों का विस्तार कीजिए (Expand) सूत्र (a + b)³ = a³ + b³ + 3a²b + 3ab² का प्रयोग करके:

• (2x + 1)³
• (2a − 3b)³
• (3/2 x + 1)³
• (x − 2/3 y)³

उत्तर 6:

• (2x + 1)³ = 8x³ + 1 + 12x² + 6x
• (2a − 3b)³ = 8a³ − 27b³ − 36a²b + 54ab²
• (3/2 x + 1)³ = 27/8 x³ + 1 + 27/4 x² + 9/2 x
• (x − 2/3 y)³ = x³ − 8/27 y³ − 2x²y + 4/3 xy²

प्रश्न 7: निम्नलिखित अभिव्यक्तियों का मान ज्ञात कीजिए (Evaluate) सूत्र (a + b)³ = a³ + b³ + 3a²b + 3ab² का प्रयोग करके:

• (99)³
• (102)³
• (998)³

उत्तर 7:

• (99)³ = 970299

• (102)³ = (100 + 2)³ = 1000000 + 8 + 60000 + 1200 = 1061208
• (998)³ = (1000 - 2)³ = 1000000000 - 8 - 600000 + 12000 = 994011992

प्रश्न 8: निम्नलिखित बहुपदों को गुणनखंडित (Factorize) कीजिए:

• 8a³ + b³ + 12a²b + 6ab²
• 8a³ − b³ − 12a²b + 6ab²
• 27 − 125a³ − 135a + 225a²
• 64a³ − 27b³ − 144a²b + 108ab²
• 27p³ − 1/216 − 9/2 p² + 1/4 p

उत्तर 8:

• 8a³ + b³ + 12a²b + 6ab² = (2a + b)³
• 8a³ − b³ − 12a²b + 6ab² = (2a − b)³
• 27 − 125a³ − 135a + 225a² = (3 − 5a)³
• 64a³ − 27b³ − 144a²b + 108ab² = (4a − 3b)³
• 27p³ − 1/216 − 9/2 p² + 1/4 p = (3p − 1/6)³

प्रश्न 9: निम्नलिखित समताएँ सत्यापित कीजिए (Verify the identities):

• x³ + y³ = (x + y)(x² − xy + y²)
• x³ − y³ = (x − y)(x² + xy + y²)

उत्तर 9 (सत्यापन):

1. x³ + y³ = (x + y)(x² − xy + y²)
सत्यापन: (x + y)(x² − xy + y²) = x³ − x²y + xy² + x²y − xy² + y³ = x³ + y³

2. x³ − y³ = (x − y)(x² + xy + y²)
सत्यापन: इसी तरह गुणा करने पर बायाँ और दायाँ पक्ष बराबर मिलेगा।

प्रश्न 10: निम्नलिखित व्यंजकों में से प्रत्येक का गुणनखंड कीजिए:

• (i) 27y³ + 125z³
• (ii) 64m³ − 343n³

उत्तर 10:

• (i) 27y³ + 125z³ = (3y + 5z)(9y² − 15yz + 25z²)
• (ii) 64m³ − 343n³ = (4m − 7n)(16m² + 28mn + 49n²)

प्रश्न 11: गुणनखंड कीजिए: 27x³ + y³ + z³ − 9xyz

उत्तर 11:
27x³ + y³ + z³ − 9xyz = (3x + y + z)(9x² + y² + z² − 3xy − yz − 3zx)

प्रश्न 12: सत्यापित कीजिए: x³ + y³ + z³ − 3xyz = ½(x + y + z)[(x − y)² + (y − z)² + (z − x)²]

उत्तर 12:
RHS = ½(x + y + z)[(x − y)² + (y − z)² + (z − x)²]
= ½(x + y + z)[x² + y² − 2xy + y² + z² − 2yz + z² + x² − 2zx]
= ½(x + y + z)(2x² + 2y² + 2z² − 2xy − 2yz − 2zx)
= (x + y + z)(x² + y² + z² − xy − yz − zx)
= x³ + y³ + z³ − 3xyz = LHS

प्रश्न 13: यदि x + y + z = 0 हो, तो दिखाइए कि x³ + y³ + z³ = 3xyz है।

उत्तर 13:
x + y + z = 0 दिया है, तो हमें पता है कि:
x³ + y³ + z³ − 3xyz = (x + y + z)(x² + y² + z² − xy − yz − zx)
= 0 × (x² + y² + z² − xy − yz − zx)
= 0
इसलिए, x³ + y³ + z³ = 3xyz है।

प्रश्न 14: बिना घनों की गणना किए, निम्नलिखित का मान ज्ञात कीजिए:

• (i) (-12)³ + (7)³ + (5)³
• (ii) (28)³ + (-15)³ + (-13)³

उत्तर 14:
हम पहचान का प्रयोग करते हैं: a³ + b³ + c³ − 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² − ab − bc − ca)
यदि a + b + c = 0, तो a³ + b³ + c³ = 3abc।
इसलिए:
(i) -12 + 7 + 5 = 0 ⇒ (-12)³ + 7³ + 5³ = 3(-12)(7)(5) = -1260
(ii) 28 − 15 − 13 = 0 ⇒ 28³ + (-15)³ + (-13)³ = 3(28)(-15)(-13) = 16380

प्रश्न 15: दिए गए आयत के क्षेत्रफल से लंबाई और चौड़ाई ज्ञात कीजिए:

• (i) क्षेत्रफल: 25a² − 35a + 12
• (ii) क्षेत्रफल: 35y² + 13y − 12

उत्तर 15:
(i) 25a² − 35a + 12 = (5a − 3)(5a − 4)
⇒ लंबाई = 5a − 3, चौड़ाई = 5a − 4

(ii) 35y² + 13y − 12 = (7y − 4)(5y + 3)
⇒ लंबाई = 7y − 4, चौड़ाई = 5y + 3

प्रश्न 16: दिए गए घनाकार आयतन से संभावित आयाम ज्ञात कीजिए:

• (i) आयतन: 3x² − 12x
• (ii) आयतन: 12ky² + 8ky − 20k

उत्तर 16:
(i) 3x² − 12x = 3x(x − 4)
⇒ लंबाई = 3x, चौड़ाई = x − 4, ऊँचाई = 1 (या कोई अन्य विभाजन)

(ii) 12ky² + 8ky − 20k = 4k(3y² + 2y − 5) = 4k(3y − 5)(y + 1)
⇒ संभावित आयाम: लंबाई = 4k, चौड़ाई = 3y − 5, ऊँचाई = y + 1