Class 9 maths polynomial chapter 2 exercise 2.3

कक्षा 9 गणित – पाठ 2: बहुपद (Polynomials)

प्रश्नावली 2.3 – हल

📲 Follow the Up Board Classes on WhatsApp

प्रश्न 1:

निम्नलिखित बहुपदों के लिए यह निर्धारित करें कि इनमें से कौन सा (x + 1) का गुणांक है:

1. p(x) = x³ + x² + x + 1
   • p(−1) = (−1)³ + (−1)² + (−1) + 1 = −1 + 1 − 1 + 1 = 0
   • चूंकि p(−1) = 0, इसलिए (x + 1) p(x) का गुणांक है।
2. p(x) = x⁴ + x³ + x² + x + 1
   • p(−1) = (−1)⁴ + (−1)³ + (−1)² + (−1) + 1 = 1 − 1 + 1 − 1 + 1 = 1
   • चूंकि p(−1) ≠ 0, इसलिए (x + 1) p(x) का गुणांक नहीं है।
3. p(x) = x⁴ + 3x³ + 3x² + x + 1
   • p(−1) = (−1)⁴ + 3(−1)³ + 3(−1)² + (−1) + 1 = 1 − 3 + 3 − 1 + 1 = 1
   • चूंकि p(−1) ≠ 0, इसलिए (x + 1) p(x) का गुणांक नहीं है।
4. p(x) = x³ + x² − (2 + √2)x + √2
• p(−1) = (−1)³ + (−1)² − (2 + √2)(−1) + √2 = −1 + 1 + 2 + √2 + √2 = 2 + 2√2
• चूंकि p(−1) ≠ 0, इसलिए (x + 1) p(x) का गुणांक नहीं है।

प्रश्न 2:

निम्नलिखित बहुपदों के लिए Factor Theorem का उपयोग करके यह निर्धारित करें कि g(x) p(x) का गुणांक है या नहीं:

1. p(x) = 2x³ + x² − 2x − 1, g(x) = x + 1
   • p(−1) = 2(−1)³ + (−1)² − 2(−1) − 1 = −2 + 1 + 2 − 1 = 0
   • चूंकि p(−1) = 0, इसलिए (x + 1) p(x) का गुणांक है।
2. p(x) = x³ + 3x² + 3x + 1, g(x) = x + 2
   • p(−2) = (−2)³ + 3(−2)² + 3(−2) + 1 = −8 + 12 − 6 + 1 = −1
   • चूंकि p(−2) ≠ 0, इसलिए (x + 2) p(x) का गुणांक नहीं है।
3. p(x) = x³ − 4x² + x + 6, g(x) = x − 3
   • p(3) = (3)³ − 4(3)² + (3) + 6 = 27 − 36 + 3 + 6 = 0
   • चूंकि p(3) = 0, इसलिए (x − 3) p(x) का गुणांक है।

प्रश्न 3:

यदि x − 1 p(x) का गुणांक है, तो निम्नलिखित बहुपदों के लिए k का मान ज्ञात करें:

1. p(x) = x² + x + k
   • p(1) = (1)² + (1) + k = 0
   • 1 + 1 + k = 0
   • k = −2
2. p(x) = 2x² + kx + √2
   • p(1) = 2(1)² + k(1) + √2 = 0
   • 2 + k + √2 = 0
   • k = −(2 + √2)
3. p(x) = kx² − √2x + 1
   • p(1) = k(1)² − √2(1) + 1 = 0
   • k − √2 + 1 = 0
   • k = √2 − 1