Class 9 maths Number Systems chapter 1 exercise 1.4

कक्षा 9 गणित अध्याय 1 (संख्या पद्धति) अभ्यास 1.4

प्रश्न 1:

निम्नलिखित संख्याओं को परिमेय (Rational) या अपरिमेय (Irrational) के रूप में वर्गीकृत कीजिए :

1. 2 - √5
2. (3 - √23) - √23
3. 2√7 / 7√7
4. 1 / √2
5. 2π

उत्तर 1:

1. 2 - √5 : अपरिमेय संख्या (Irrational number)
2. (3 - √23) - √23 = 3 : परिमेय संख्या (Rational number)
3. 2√7 / 7√7 = 2/7 : परिमेय संख्या (Rational number)
4. 1 / √2 : अपरिमेय संख्या (Irrational number)
5. 2π : अपरिमेय संख्या (Irrational number)

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प्रश्न 2:

निम्नलिखित अभिव्यक्तियों को सरल कीजिए :

1. (3 + √3)(2 + √2)
2. (3 + √3)(3 - √3)
3. (√5 + √2)²
4. (√5 - √2)(√5 + √2)

उत्तर 2:

1. (3 + √3)(2 + √2) = 6 + 3√2 + 2√3 + √6
2. (3 + √3)(3 - √3) = 3² - (√3)² = 9 - 3 = 6
3. (√5 + √2)² = (√5)² + (√2)² + 2 × √5 × √2 = 7 + 2√10
4. (√5 - √2)(√5 + √2) = (√5)² - (√2)² = 5 - 2 = 3

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प्रश्न 3:

आपको याद होगा कि  π को वृत्त की परिधि (c) और उसके व्यास (d) के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है। अर्थात π = c/d है।  यह इस तथ्य का अंतर्विरोध करता हुआ प्रतीत होता है कि π  अपरिमेय है । इस अंतर्विरोध का निराकरण आप किस प्रकार करेंगे?

उत्तर 3:

जब हम पैमाने या टेप से परिधि और व्यास को मापते हैं, तब हमें केवल एक निकटतम परिमेय मान (approximate rational value) प्राप्त होता है। इसी कारण π को हम भिन्न (p/q) के रूप में लगभग व्यक्त कर सकते हैं। परंतु गणितीय सत्य यह है कि π को किसी भी परिमेय संख्या के रूप में ठीक-ठीक व्यक्त नहीं किया जा सकता। अतः π वास्तव में एक अपरिमेय संख्या है।

प्रश्न 4: संख्या रेखा पर √9.3 को दर्शाइए।

उत्तर 4:

√9.3 को संख्या रेखा पर प्रदर्शित करने के लिए निम्नलिखित विधि अपनाएँ –
1. AB = 9.3 इकाई लंबाई खींचिए।
2. अब AB को C तक बढ़ाइए ताकि BC = 1 इकाई हो।
3. AC का लम्ब समद्विभाजक (perpendicular bisector) खींचिए जो AC को O बिंदु पर काटे।
4. O को केंद्र और OA को त्रिज्या मानकर अर्धवृत्त बनाइए, जो B से खींचे गए लम्ब पर D बिंदु पर प्रतिच्छेद करेगा।
5. अब O को केंद्र और OD को त्रिज्या मानकर एक चाप बनाइए, जो AC बढ़ाई हुई रेखा को E पर काटे।
अतः OE = √9.3 होगा। यही √9.3 का संख्या रेखा पर निरूपण है।

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प्रश्न 5:

निम्नलिखित के हरों को युक्तिसंगत (Rationalise) कीजिए :

1. 1/√7
2. 1/(√7 - √6)
3. 1/(√5 + √2)
4. 1/(√7 - 2)

उत्तर 5:

1. 1/√7 = (1/√7) × (√7/√7) = √7/7
2. 1/(√7 - √6) = (1/(√7 - √6)) × ((√7 + √6)/(√7 + √6))
   = (√7 + √6)/((√7)² - (√6)²)
   = (√7 + √6)/(7 - 6)
   = √7 + √6
3. 1/(√5 + √2) = (1/(√5 + √2)) × ((√5 - √2)/(√5 - √2))
   = (√5 - √2)/((√5)² - (√2)²)
   = (√5 - √2)/(5 - 2)
   = (√5 - √2)/3
4. 1/(√7 - 2) = (1/(√7 - 2)) × ((√7 + 2)/(√7 + 2))
   = (√7 + 2)/((√7)² - (2)²)
   = (√7 + 2)/(7 - 4)
   = (√7 + 2)/3