Class 9 maths Number Systems chapter 1 exercise 1.3

कक्षा 9 गणित – अध्याय 1 संख्या पद्धति
व्यायाम 1.3 (हल)

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प्रश्न 1:

निम्न संख्याओं को दशमलव रूप में लिखिए तथा बताइए कि उनका दशमलव विस्तार कैसा है:

1. 36/100
2. 1/11
3. 4 1/8
4. 3/13
5. 2/11
6. 329/400

हल:

1. 36/100 = 0.36 → समाप्त (Terminating)
2. 1/11 = 0.09 (09 बार-बार आता है) → आवर्ती एवं अनन्त (Recurring & Non-terminating)
3. 4 1/8 = 4.125 → समाप्त (Terminating)
4. 3/13 = 0.230769 (230769 दोहरता है) → आवर्ती एवं अनन्त
5. 2/11 = 0.18 (18 दोहरता है) → आवर्ती एवं अनन्त
6. 329/400 = 0.8225 → समाप्त (Terminating)

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प्रश्न 2:

आप जानते हैं कि 1/7 = 0.142857… क्या आप बिना लंबा भाजन किए 2/7, 3/7, 4/7, 5/7 तथा 6/7 का दशमलव विस्तार बता सकते हैं? यदि हाँ, तो कैसे?

[संकेत: 1/7 के दशमलव विस्तार को ध्यान से देखिए और शेषफल पर गौर कीजिए।]

हल:
बिना लंबा भाजन किए हम देख सकते हैं कि:

• 2/7 = 2 × 0.142857 = 0.285714…
• 3/7 = 3 × 0.142857 = 0.428571…
• 4/7 = 4 × 0.142857 = 0.571428…
• 5/7 = 5 × 0.142857 = 0.714285…
• 6/7 = 6 × 0.142857 = 0.857142…

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प्रश्न 3:

निम्न संख्याओं को p/q (जहाँ p, q पूर्णांक हैं और q ≠ 0 है) के रूप में व्यक्त कीजिए:

1. 0.6̅ (यानि 0.6666…)
2. 0.47
3. 0.001

हल:

1. मान लीजिए x = 0.6̅ = 0.6666…
   ⇒ 10x = 6.6666…
   अब (10x – x) = (6.6666… – 0.6666…) = 6
   ⇒ 9x = 6                    ..........(i)
   ⇒ x = 6/9 = 2/3
   अतः 0.6̅ = 2/3
2. 0.47 = 47/100
3. 0.001 = 1/1000

समस्या पुनरावृत्ति दशमलव को p/q के रूप में व्यक्त करने की है।

 (i): 0.6̄

- माना x = 0.6̄ = 0.6666...

- दोनों पक्षों को 10 से गुणा करने पर 10x = 6.6666...    .......(ii)

- पहले समीकरण को दूसरे से घटाने पर 9x = 6

- इसलिए, x = 6/9 = 2/3

समस्या (ii): 0.4̄7

- माना x = 0.4̄7 = 0.47777...             ........(i)

- दोनों पक्षों को 10 से गुणा करने पर 10x = 4.7777...     .......(ii)

- दोनों पक्षों को 100 से गुणा करने पर 100x = 47.7777...       ........(iii)

- दूसरे समीकरण को तीसरे से घटाने पर 90x = 43

- इसलिए, x = 43/90

समस्या (iii): 0.001̄

- माना x = 0.001̄ = 0.001001001...       ........(i)

- दोनों पक्षों को 1000 से गुणा करने पर 1000x = 1.001001001...            ..........(ii)

- पहले समीकरण को दूसरे से घटाने पर 999x = 1

- इसलिए, x = 1/999

प्रश्न 4: 0.99999... को p/q के रूप में व्यक्त करें

- माना x = 0.99999...          ..........(i)

- दोनों पक्षों को 10 से गुणा करने पर 10x = 9.99999...      .........(ii) 

- पहले समीकरण को दूसरे से घटाने पर 9x = 9

- इसलिए, x = 9/9 = 1

5. 1/17 के दशमलव प्रसार में अंकों के पुनरावृत्ति खंड में अंकों की अधिकतम संख्या क्या हैं? अपने उत्तर की जाँच करने के लिए विभाजन करें।

उत्तर 5:
1/17 के दशमलव प्रसार में पुनरावृत्ति खंड में अंकों की अधिकतम संख्या हो सकता है (17 से कम)।
वास्तविक विभाजन से: 1/17 = 0.0588235294117647
अतः पुनरावृत्ति ब्लॉक में 16 अंक हैं।

प्रश्न 6:

p/q (q ≠ 0) के रूप में परिमेय संख्याओं के कई उदाहरण देखें, जहाँ p और q पूर्णांक हैं और 1 के अलावा कोई सामान्य गुणनखण्ड नहीं है, तथा उनका दशमलव विस्तार समाप्त होता है। क्या आप अनुमान लगा सकते हैं कि q को कौन-सी विशेषता संतुष्ट करनी चाहिए?

उत्तर 6:
उदाहरण:
2/5 = 0.4,
1/10 = 0.1,
3/2 = 1.5,
7/8 = 0.875

सभी संख्याओं के हर (denominator) का रूप 2^m × 5ⁿ होता है, जहाँ m और n पूर्णांक हैं।

प्रश्न 7:

तीन संख्याएँ लिखिए जिनके दशमलव विस्तार गैर-समाप्ति गैर-आवर्ती हों।

उत्तर 7:
तीन उदाहरण:
1. 0.4141141114111141111...
2. 2.01001000100001...
3. π = 3.1416...

प्रश्न 8:

परिमेय संख्याओं 5/7 और 9/11 के बीच तीन अलग-अलग अपरिमेय संख्याएँ खोजिए।

उत्तर 8:
5/7 = 0.714285... और 9/11 = 0.81
दो परिमेय संख्याओं के बीच असंख्य अपरिमेय संख्याएँ होती हैं। तीन उदाहरण:
1. 0.727227722272222...
2. 0.73733733373333...
3. 0.74744744474444...

8. बताइए कि निम्नलिखित संख्याओं को परिमेय या अपरिमेय के रूप में वर्गीकृत करें:

(i) √23

(ii) √225

(iii) 0.3796

(iv) 7.478478 ...

(v) 1.101001000100001 ...

इस समस्या को हल करने के लिए, हमें परिमेय और अपरिमेय संख्याओं की परिभाषा समझने की आवश्यकता है।

- एक परिमेय संख्या एक संख्या है जिसे p/q के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ p और q पूर्णांक हैं और q ≠ 0 है।

- एक अपरिमेय संख्या एक संख्या है जिसे p/q के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है, जहाँ p और q पूर्णांक हैं और q ≠ 0 है।

अब, आइए प्रत्येक दी गई संख्या को वर्गीकृत करें:

(i) √23

- √23 एक अपरिमेय संख्या है क्योंकि 23 एक पूर्ण वर्ग नहीं है, और इसका वर्गमूल एक सीमित दशमलव या भिन्न के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है।

(ii) √225

- √225 = 15, जो एक परिमेय संख्या है क्योंकि इसे एक सीमित दशमलव या भिन्न (15/1) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

(iii) 0.3796

- 0.3796 एक परिमेय संख्या है क्योंकि यह एक सीमित दशमलव है, जिसका अर्थ है कि इसे एक भिन्न (3796/10000) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

(iv) 7.478478 ...

- 7.478478 ... एक परिमेय संख्या है क्योंकि यह एक गैर-सीमित आवर्ती दशमलव है, जिसका अर्थ है कि इसे एक भिन्न के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। 478 के ऊपर की बार इंगित करती है कि अनुक्रम "478" अनिश्चित काल तक दोहराता है।

(v) 1.101001000100001 ...

- 1.101001000100001 ... एक अपरिमेय संख्या है क्योंकि यह एक गैर-सीमित गैर-आवर्ती दशमलव है, जिसका अर्थ है कि इसे एक सीमित दशमलव या भिन्न के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है।

*उत्तर:*

दी गई संख्याओं का वर्गीकरण इस प्रकार है:

- (i) √23: अपरिमेय संख्या

- (ii) √225: परिमेय संख्या

- (iii) 0.3796: परिमेय संख्या

- (iv) 7.478478 ... : परिमेय संख्या

- (v) 1.101001000100001 ... : अपरिमेय संख्या