Class 9 maths Number Systems chapter 1 exercise 1.2

Up board classes for कक्षा 9 गणित — अध्याय 1: संख्या पद्धति (Number Systems)

प्रश्नावली 1.2 — सभी प्रश्न व उत्तर (हिन्दी)

---

प्रश्न 1.

नीचे दिए गए कथन सत्य हैं या असत्य? कारण के साथ अपने उत्तर दीजिए :

1. प्रत्येक अपरिमेय संख्या एक वास्तविक संख्या होती है।
2. संख्या रेखा का प्रत्येक बिन्दु √m के रूप का होता है जहाँ m एक प्राकृतिक संख्या है।
3. प्रत्येक वास्तविक संख्या एक अपरिमेय संख्या होती है।

उत्तर :

• (i) — सत्य. वास्तविक संख्याओं का समूह परिमेय (rational) तथा अपरिमेय (irrational) दोनों तरह की संख्याओं को सम्मिलित करता है; अतः प्रत्येक अपरिमेय संख्या भी वास्तविक संख्या होगी।
• (ii) — असत्य. यदि प्रत्येक बिन्दु √m (जहाँ m प्राकृतिक हो) प्रकार का होता तो संख्या रेखा पर केवल √1, √2, √3,... के बिन्दु होते; परन्तु संख्या रेखा पर दो किसी क्रमिक पूर्णांकों के मध्य अनन्त संख्या होते हैं। अतः यह कथन असत्य है।
• (iii) — असत्य. वास्तविक संख्याओं में परिमेय और अपरिमेय दोनों प्रकार के सदस्य होते हैं; इसलिए हर वास्तविक संख्या अपरिमेय हो, यह आवश्यक नहीं।

---

प्रश्न 2.

क्या सभी धनात्मक पूर्णांकों के वर्गमूल अपरिमेय होते हैं? यदि नहीं, तो एक उदाहरण दीजिए जहाँ वर्गमूल परिमेय होता है।

उत्तर : नहीं। यदि पूर्णांक कोई पूर्ण वर्ग हो तो उसका वर्गमूल परिमेय (पूर्ण) होगा — उदाहरण: √9 = 3 (यह परिमेय है)। पर यदि पूर्णांक पूर्ण वर्ग न हो (जैसे 2,3,5,7…) तो उसका वर्गमूल अपरिमेय होगा।

---

प्रश्न 3.

संख्या रेखा पर √5 को किस प्रकार निरूपित किया जा सकता है? (निर्माण विधि लिखिए)

उत्तर (निर्माण संक्षेप में):

1. संख्या रेखा पर मूल O चिन्हित कीजिए और O से एक बिंदु A को 2 इकाई पर रखें (OA = 2)।
2. A के स्थान से लंब खींचकर AB = 1 इकाई लें। अब त्रिभुज OAB पर विचार करें।
3. पाइथागोरस के अनुसार OB = √(OA² + AB²) = √(2² + 1²) = √5।
4. OB को संख्या रेखा पर O से स्थानान्तरित कीजिए — जहाँ OB की लम्बाई पहुँचती है वह बिंदु √5 है।

---

अतिरिक्त नोट्स :

• आप चाहें तो इन उत्तरों को छोटे-छोटे कदमों में (step-by-step) आरेख के साथ पोस्ट में जोड़ सकते हैं — विशेषकर √5 का निर्माण आरेख से स्पष्ट दिखता है।
• यदि आप चाहें तो मैं यही पोस्ट पूर्ण रूप से SEO-optimize करके canonical link, OpenGraph image आदि भी जोड़ दूँ।

---