कक्षा -12 पाठ – 6 महत्व पूर्ण प्रश्न अवकलज के प्रयोग

कक्षा -12 पाठ – 6 महत्व पूर्ण प्रश्न अवकलज के प्रयोग:–

प्रश्न 1.) एक 5 मीटर लंबी सीढ़ी दीवार के सहारे झुकी है सीढ़ी के नीचे का सिरा जमीन के अनुदिस दीवार से 2 cm/सेकंड की दर से खींचा जाता है दीवार पर इसकी ऊंचाई किस दर से घट रही है जबकि सीढ़ी के नीचे का सिरा दीवार से 4 मीटर दूर है?

      माना, AB=5 मीटर सीढ़ी की लम्बाई हैं। और y दीवार की उंचाई है जिस पर सीढ़ी झुकी है और सीढ़ी का पाद B पर है, जहां से c की दूरी x है।
दिया गया है, कि सीढ़ी के नीचे का सिरा जमीन के अनुदिस, दीवार से 2cm/से की दर से खींचा जाता हैं।
तब,        dx/dt = 2cm/से

हम जानते हैं कि ∆ABC समकोण त्रिभुज हैं, इसलिए पेथागोरस प्रमिये द्वारा,
            x²+ y² = (5)²                   (1)
जब x= 4 तब y² = 5² –4²
           y = √25-16
       y = 3 मीटर

समीकरण (1) को समय (t) के सापेक्ष दोनो और का अवकलन करने पर,

       2x dx/dt + 2ydy/dt = 0
    2  (xdx/dt + ydy/dt) = 0

xdx/dt+ydy/dt = 0

4×2 +3×dy/dt= 0।    [X=4और dx/dt=2 ]
    dy/dt = –8/3

दीवार पर सीढ़ी की ऊंचाई dy/dt= –8/3 cm/सेकंड की दर से घट रही हैं।

[ ऋणआत्मक चिन्ह यह दर्शाता है कि दीवार पर सीढ़ी की ऊंचाई 8/3 cm/सेकंड से घट रही हैं।]

प्रश्न 2.) एक पाइप से रेत 12 cm³ प्रति सेकेंड की दर से गिर रही है गिरती रेत जमीन पर एक ऐसा शंकू बनाती है जिसकी ऊंचाई सदैव आधार की त्रिज्या का छठा भाग है रेत से बने शंकु की ऊंचाई किस दर से बढ़ रही है जबकि ऊंचाई 4 सेंटीमीटर है?

हल,
माना, कि त्रिज्या r, ऊंचाई h और आयतन V है।
दिया है, dv/dt= 12cm³/से०
और h= 1/6r तब, r= 6h

अब, संकु का आयतन V = π r²h/3 = π (6h²)h
                                         = 12πh³
t के सापेक्ष अवकलन करने पर,
dv/dt= (12π){3h²dh/dt}
        = 36πh²dh/dt
चूंकि;
दिया है, h = 4cm और dv/dt= 12cm/से ०
तब, 12 = 36π(4)²dh/dt
dh/dt= 12/36π×16 = 1/48π cm/से ०
अतः जब ऊंचाई 4 सेंटीमीटर है तो रेत से बने शंकु की ऊंचाई 1/48π cm/से ० की दर से बढ़ रही है।

महत्तवपूर्ण बिन्दु:–

dv/dt को स्पर्श रेखा की प्रवणता कहते हैं।
अतः
M = tanथीटा = dh/dt

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