कक्षा 12 गणित अध्याय 8 : समाकलों का अनुप्रयोग | Applications of Integrals in Hindi | क्षेत्रफल निकालने की विधि, सूत्र व उदाहरण सहित PDF

कक्षा 12 गणित: समाकलों का अनुप्रयोग | Applications of Integrals in Hindi

📘 परिभाषा:

समाकलों का अनुप्रयोग का अर्थ है समाकल की सहायता से वक्र (curve) और निर्देशांक अक्षों (axes) के बीच के क्षेत्रफल (Area) की गणना करना। यह गणित और भौतिकी में अत्यंत महत्वपूर्ण विषय है।

📌 मुख्य बिंदु:

• निर्धारित समाकल (Definite Integral): सीमाओं के साथ समाकल का उपयोग करके क्षेत्रफल ज्ञात किया जाता है।
• वक्र और x-अक्ष के बीच का क्षेत्रफल: Area = ∫ab f(x) dx
• दो वक्रों के बीच का क्षेत्रफल: Area = ∫ab [f(x) - g(x)] dx
• पूर्णांक (Absolute Value): यदि वक्र x-अक्ष के नीचे हो तो |f(x)| लिया जाता है।

📚 महत्वपूर्ण सूत्र:

क्रम	सूत्र	प्रयोग
1	Area = ∫ab f(x) dx	x-अक्ष और वक्र के बीच
2	Area = ∫cd f(y) dy	y-अक्ष और वक्र के बीच
3	Area = ∫ab |f(x)| dx	यदि वक्र x-अक्ष के नीचे हो
4	Area = ∫ab [f(x) - g(x)] dx	दो वक्रों के बीच का क्षेत्र

📝 हल किए गए उदाहरण:

प्रश्न 1: वक्र y = x² और x-अक्ष के बीच x = 0 से x = 2 तक का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर:
Area = ∫02 x² dx = [x³/3]02 = 8/3 वर्ग इकाई

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प्रश्न 2: वक्र y = x और y = x² के बीच x = 0 से x = 1 तक का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर:
Area = ∫01 (x - x²) dx = [x²/2 - x³/3]01 = 1/2 - 1/3 = 1/6 वर्ग इकाई

❓ FAQs – अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न 1: समाकल से क्षेत्रफल क्यों निकाला जाता है?
उत्तर: क्योंकि यह वक्र के नीचे बंद क्षेत्र को सटीक रूप से मापने का गणितीय तरीका है।

प्रश्न 2: दो वक्रों के बीच का क्षेत्र कैसे निकालते हैं?
उत्तर: पहले छेदन बिंदु ज्ञात करें और फिर ∫ [ऊपरी वक्र - निचला वक्र] का समाकल करें।

प्रश्न 3: क्या क्षेत्रफल ऋणात्मक हो सकता है?
उत्तर: नहीं, क्षेत्रफल हमेशा धनात्मक होता है। यदि समाकल ऋणात्मक हो तो |f(x)| लेकर हल करें।

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🔚 निष्कर्ष:

समाकलों का अनुप्रयोग न केवल बोर्ड परीक्षा के लिए बल्कि प्रतियोगी परीक्षाओं के लिए भी अत्यंत उपयोगी है। इसका अभ्यास करने से आपको क्षेत्रफल की गणना से संबंधित प्रश्नों में पूर्ण अंक मिल सकते हैं।