कक्षा 12 गणित अध्याय 7: समाकलन (Integration)
यह अध्याय समाकलन (Integration) के सिद्धांत, सूत्रों और विभिन्न प्रकार की समस्याओं के समाधान पर आधारित है। यह CBSE, UP Board और अन्य राज्य बोर्ड के छात्रों के लिए अत्यंत उपयोगी है। नीचे सभी अभ्यास (Exercise) के प्रश्नों के उत्तर सहित समाधान दिए गए हैं।
📘 Exercise 7.1: समाकलन के मूल सिद्धांत
- Q1: ∫ x dx का हल क्या होगा?
उत्तर: ∫ x dx = x²/2 + C - Q2: ∫ cos x dx का हल दीजिए।
उत्तर: ∫ cos x dx = sin x + C - Q3: ∫ e^x dx का हल क्या है?
उत्तर: ∫ e^x dx = e^x + C
📘 Exercise 7.2: कुछ विशेष फलनों का समाकलन
- Q1: ∫ 1/x dx का उत्तर दीजिए।
उत्तर: ∫ 1/x dx = log|x| + C - Q2: ∫ tan x dx का हल बताइए।
उत्तर: ∫ tan x dx = -log|cos x| + C
📘 Exercise 7.3: गुणनफल और भाजन नियम
- Q1: ∫ x·e^x dx का समाकलन कीजिए।
उत्तर: Integration by parts से हल होगा:
∫ x·e^x dx = x·e^x - ∫ e^x dx = x·e^x - e^x + C
📘 Exercise 7.4: समाकलन द्वारा क्षेत्रफल
- Q1: x-अक्ष और रेखाओं x=1, x=2, y=0 और वक्र y = x² द्वारा घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
उत्तर: ∫[1 to 2] x² dx = [(x³)/3] from 1 to 2 = (8/3 - 1/3) = 7/3 वर्ग इकाई
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❓ अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न (FAQ)
Q1: समाकलन किसे कहते हैं?
यह गणित की वह प्रक्रिया है जिसके द्वारा किसी फलन के क्षेत्रफल या संचयी योग को निकाला जाता है।
Q2: समाकलन का सूत्र क्या होता है?
उदाहरण: ∫ xⁿ dx = (xⁿ⁺¹)/(n+1) + C (n ≠ -1)
Q3: समाकलन कितने प्रकार के होते हैं?
मुख्यतः तीन प्रकार के - सामान्य समाकलन, शर्तबद्ध समाकलन और आंशिक समाकलन।
Q4: समाकलन और अवकलन में क्या अंतर है?
अवकलन किसी फलन की दर बताता है जबकि समाकलन कुल मान या क्षेत्रफल।
Q5: समाकलन कहाँ उपयोगी है?
यह भौतिकी, गणित, अर्थशास्त्र, इंजीनियरिंग आदि में क्षेत्रफल, आयतन व गति जैसे विषयों में अत्यंत उपयोगी है।
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