कक्षा 12 गणित अध्याय 9: अवकल समीकरण | Differential Equations in Hindi | सूत्र, परिभाषा, उदाहरण एवं प्रश्न-उत्तर सहित

कक्षा 12 गणित अध्याय 9: अवकल समीकरण | Differential Equations in Hindi

📘 परिभाषा:

ऐसा समीकरण जिसमें एक या अधिक अवकलज (Derivative) सम्मिलित हो, अवकल समीकरण कहलाता है। ये गणित, भौतिकी, रसायन, जैविकी, इंजीनियरिंग आदि में महत्वपूर्ण होते हैं।

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उदाहरण: dy/dx + 2y = e^x

📌 मुख्य बिंदु:

• क्रम (Order): समीकरण में प्रयुक्त उच्चतम अवकलज का क्रम।
• डिग्री (Degree): उच्चतम क्रम के अवकलज की शक्ति (घात)।
• सामान्य हल (General Solution): जिसमें एक या अधिक स्थिरांक हों।
• विशिष्ट हल (Particular Solution): जब स्थिरांकों के मान ज्ञात हों।

🧮 अवकल समीकरण हल करने की प्रमुख विधियाँ:

1. चर पृथक्करण विधि (Variable Separation):
   यदि समीकरण इस रूप में हो: dy/dx = f(x)g(y)
   तब इसे इस प्रकार लिखा जाता है: dy/g(y) = f(x)dx और फिर दोनों पक्षों का समाकलन किया जाता है।
2. रैखिक अवकल समीकरण (Linear Differential Equation):
   सामान्य रूप: dy/dx + Py = Q
   जहाँ P और Q x के फलन हैं।
   इसका हल: y·I.F = ∫Q·I.F dx + C
   जहाँ I.F = e^∫P dx (Integrating Factor)
3. समघात समीकरण (Homogeneous Equation):
   यदि dy/dx = f(x, y)/g(x, y) और दोनों फलन एक ही डिग्री के हों, तो यह समघात होता है।

📚 महत्वपूर्ण सूत्र:

क्रमांक	सूत्र / विधि	उपयोग
1	dy/dx = f(x)	सरल समाकलन
2	dy/dx = f(x)g(y)	चर पृथक्करण विधि
3	dy/dx + Py = Q	रैखिक समीकरण
4	I.F = e^∫P dx	Integrating Factor
5	y·I.F = ∫Q·I.F dx + C	हल करने का मुख्य सूत्र

📝 हल किए गए उदाहरण:

प्रश्न 1: निम्न समीकरण को हल करें:
dy/dx = 3x²

उत्तर:
∫ dy = ∫ 3x² dx ⇒ y = x³ + C

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प्रश्न 2: समीकरण हल करें:
dy/dx + y = e^x

हल:
यह रैखिक समीकरण है, जहाँ P = 1, Q = e^x

• Step 1: Integrating Factor: I.F = e^∫1 dx = e^x
• Step 2: y·e^x = ∫e^x·e^x dx = ∫e^{2x} dx = (1/2)e^{2x} + C
• Final: y = (1/2)e^x + C·e^{-x}

❓ FAQs – अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न 1: अवकल समीकरण का वास्तविक जीवन में उपयोग क्या है?
उत्तर: यह गति, जनसंख्या वृद्धि, रेडियोधर्मी क्षय, ताप संचार आदि के गणितीय मॉडलिंग में प्रयोग होता है।

प्रश्न 2: रैखिक और समघात अवकल समीकरण में क्या अंतर है?
उत्तर: रैखिक समीकरण में अवकलज और चर की घात 1 होती है, जबकि समघात में सभी पद एक ही डिग्री के होते हैं।

प्रश्न 3: Integrating Factor (I.F.) क्या होता है?
उत्तर: यह एक गुणक होता है जिससे रैखिक अवकल समीकरण को हल करना सरल हो जाता है। इसका सूत्र है:
I.F. = e^∫P dx

🔚 निष्कर्ष:

अवकल समीकरण गणित का एक अत्यंत महत्वपूर्ण विषय है जो भौतिकी और अन्य विज्ञानों में भी गहराई से उपयोग होता है। यदि इनकी विधियों को सही से समझ लिया जाए, तो यह अध्याय अत्यंत सरल और अंकदायक हो सकता है।