कक्षा 12 गणित पाठ-5: सांतत्य तथा अवकलनीयता
इस अध्याय में हम सीखेंगे कि किसी फलन में सांतत्य (Continuity) और अवकलनीयता (Differentiability) कैसे जाँची जाती है। यह टॉपिक बोर्ड परीक्षाओं के साथ-साथ प्रतियोगी परीक्षाओं में भी महत्वपूर्ण है। नीचे सभी प्रश्नों का उत्तर, PDF लिंक और FAQ भी दिए गए हैं।
📘 सांतत्य की परिभाषा:
यदि किसी फलन f(x) में x के मान में छोटा-सा परिवर्तन करने पर f(x) के मान में भी छोटा परिवर्तन होता है, तो वह फलन उस बिंदु पर सतत (Continuous) होता है।
📘 अवकलनीयता की परिभाषा:
फलन f(x) उस बिंदु पर अवकलनीय (Differentiable) होता है जब उस बिंदु पर उसका अवकलज (Derivative) मौजूद हो।
📚 अभ्यास प्रश्न (Exercise Questions with Answers)
Exercise 5.1:
- प्रश्न 1: जांचें कि f(x) = x² एक सतत फलन है या नहीं?
उत्तर: हाँ, x² एक सतत फलन है क्योंकि यह सभी वास्तविक संख्याओं पर परिभाषित और अवकलनीय है। - प्रश्न 2: यदि f(x) = |x| हो तो क्या यह x = 0 पर अवकलनीय है?
उत्तर: नहीं, |x| x = 0 पर सतत तो है लेकिन अवकलनीय नहीं है क्योंकि बाएँ और दाएँ अवकलज अलग-अलग हैं।
Exercise 5.2:
- प्रश्न 1: मान लीजिए f(x) = sin(x), क्या यह सतत और अवकलनीय है?
उत्तर: हाँ, sin(x) सभी बिंदुओं पर सतत और अवकलनीय है। - प्रश्न 2: यदि f(x) = ln(x), तो यह कहाँ सतत है?
उत्तर: f(x) = ln(x) केवल x > 0 के लिए सतत और अवकलनीय है।
📥 PDF डाउनलोड करें:
👉 यहां क्लिक करें PDF डाउनलोड करने के लिए
❓ अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न (FAQs)
Q1: सांतत्य क्या होती है?
यदि किसी फलन में इनपुट में छोटे परिवर्तन से आउटपुट में भी छोटा परिवर्तन हो, तो वह फलन सतत कहलाता है।
Q2: अवकलनीयता का अर्थ क्या है?
जब किसी फलन का अवकलज किसी बिंदु पर मौजूद होता है तो वह फलन उस बिंदु पर अवकलनीय होता है।
Q3: क्या हर सतत फलन अवकलनीय होता है?
नहीं, हर सतत फलन अवकलनीय नहीं होता। उदाहरण: f(x) = |x| x=0 पर सतत है लेकिन अवकलनीय नहीं।
Q4: किस बिंदु पर फलन असतत होता है?
जब बिंदु पर फलन का मान मौजूद न हो, या बाएँ और दाएँ सीमाएँ समान न हों।
Q5: इस चैप्टर से बोर्ड में कितने अंक के प्रश्न आते हैं?
इस अध्याय से सामान्यतः 5–6 अंक के प्रश्न पूछे जाते हैं।
📚 अन्य अध्यायों के लिए विज़िट करें: www.upboardclasses.in
0 Comments