इस अध्याय में हम 'संबंध' और 'फलन' जैसे आधारभूत गणितीय अवधारणाओं को विस्तार से समझते हैं। यह अध्याय न केवल बोर्ड परीक्षा बल्कि JEE और अन्य प्रतियोगी परीक्षाओं के लिए भी उपयोगी है। नीचे सभी प्रश्नावलियों के हल दिए गए हैं।
🔢 Exercise 1.1: Cartesian Product & Relations
- प्रश्न 1: यदि A = {1, 2}, B = {3, 4}, तो A × B ज्ञात कीजिए।
उत्तर: A × B = {(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)} - प्रश्न 2: यदि R = {(1, 2), (2, 2)}, यह A = {1, 2} पर परिभाषित एक संबंध है। क्या R एक परावर्ती संबंध है?
उत्तर: नहीं, क्योंकि (1,1) और (2,2) दोनों नहीं हैं।
📘 Exercise 1.2: Types of Relations
- प्रश्न 1: परावर्ती, सममित और संक्रमणशील संबंधों को उदाहरण सहित समझाइए।
उत्तर:
🔹 परावर्ती: यदि (a,a) ∈ R ∀ a ∈ A
🔹 सममित: यदि (a,b) ∈ R ⇒ (b,a) ∈ R
🔹 संक्रमणशील: यदि (a,b), (b,c) ∈ R ⇒ (a,c) ∈ R
📗 Exercise 1.3: Functions
- प्रश्न 1: यदि A = {1, 2}, B = {4, 5}, और f = {(1,4), (2,5)} एक फलन है तो f(1) और f(2) ज्ञात कीजिए।
उत्तर: f(1) = 4, f(2) = 5 - प्रश्न 2: एक-एक फलन (One-one), परिपूर्ण फलन (Onto) और एक-एक एवं परिपूर्ण फलन को परिभाषित करें।
उत्तर:
🔹 एक-एक (One-One): हर तत्व का अलग आउटपुट हो।
🔹 परिपूर्ण (Onto): कोडोमेन का हर अवयव किसी न किसी तत्व से जुड़ा हो।
🔹 एक-एक और परिपूर्ण: दोनों गुण हों।
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❓ अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न (FAQ)
Q1: संबंध (Relation) क्या होता है?
यदि A व B दो समुच्चय हैं, तो A × B का कोई उपसमुच्चय एक संबंध कहलाता है।
Q2: फलन (Function) क्या होता है?
यदि A का प्रत्येक अवयव B के एक अद्वितीय अवयव से संबंधित हो, तो वह एक फलन कहलाता है।
Q3: सममित संबंध क्या होता है?
यदि (a,b) ∈ R होने पर (b,a) भी R में हो, तो R सममित कहलाता है।
Q4: एक-एक फलन किसे कहते हैं?
यदि हर इनपुट का एक अलग आउटपुट हो, तो वह एक-एक फलन होता है।
Q5: क्या यह अध्याय बोर्ड परीक्षा के लिए आवश्यक है?
हाँ, यह अध्याय बोर्ड और प्रतियोगी दोनों परीक्षाओं के लिए अत्यंत महत्वपूर्ण है।
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