कक्षा 12 गणित अध्याय 11: अन्तरापेक्षीकरण (Interpolation)
इस अध्याय में हम उन तकनीकों को सीखते हैं जिनसे ज्ञात आंकड़ों के बीच के मानों का अनुमान लगाया जाता है। इंटरपोलेशन का उपयोग सांख्यिकीय विश्लेषण और डेटा के विश्लेषण में किया जाता है। CBSE और UP Board दोनों के लिए यह अध्याय महत्वपूर्ण है।
Exercise 11.1: अन्तरापेक्षीकरण की विधियाँ
- प्रश्न 1: अन्तरापेक्षीकरण क्या है? इसका उद्देश्य समझाइए।
उत्तर: अन्तरापेक्षीकरण एक गणितीय विधि है जिससे हम दो ज्ञात बिंदुओं के बीच के किसी मान का अनुमान लगाते हैं। इसका उपयोग तब किया जाता है जब कुछ आंकड़े उपलब्ध हों लेकिन बीच का मान ज्ञात न हो। - प्रश्न 2: निम्नलिखित आंकड़ों के लिए 1955 का अनुमानित मान ज्ञात कीजिए:
वर्ष: 1940, 1950, 1960
जनसंख्या (लाख में): 30, 40, 55
उत्तर: यहाँ हम लीनियर इंटरपोलेशन (रेखीय अन्तरापेक्षीकरण) विधि से हल करेंगे:
1955 = 1950 + 5 वर्ष
ΔP/ΔT = (55 - 40)/10 = 1.5 लाख प्रति वर्ष
अतः 1955 की जनसंख्या = 40 + (5 × 1.5) = 47.5 लाख - प्रश्न 3: अन्तरापेक्षीकरण की लॅग्रेंज विधि का प्रयोग करके 1975 का मान ज्ञात कीजिए:
वर्ष: 1970, 1980, 1990
मान: 30, 40, 60
उत्तर: यहाँ हम लॅग्रेंज फॉर्मूला का प्रयोग करेंगे:
f(x) = f(x₀) * [(x - x₁)(x - x₂)] / [(x₀ - x₁)(x₀ - x₂)] +
f(x₁) * [(x - x₀)(x - x₂)] / [(x₁ - x₀)(x₁ - x₂)] +
f(x₂) * [(x - x₀)(x - x₁)] / [(x₂ - x₀)(x₂ - x₁)]
अंतिम उत्तर: 1975 का मान = 36.25 (प्रति सवाल के अनुसार)
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❓ अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न (FAQs)
Q1: अन्तरापेक्षीकरण क्या होता है?
उत्तर: अन्तरापेक्षीकरण वह विधि है जिससे ज्ञात आंकड़ों के आधार पर अज्ञात आंकड़ों का अनुमान लगाया जाता है।
Q2: अन्तरापेक्षीकरण की प्रमुख विधियाँ कौन-कौन सी हैं?
उत्तर: प्रमुख विधियाँ हैं – रैखिक अन्तरापेक्षीकरण (Linear Interpolation), लॅग्रेंज विधि (Lagrange Interpolation), तथा न्यूटन की अन्तरापेक्षीकरण विधि।
Q3: अन्तरापेक्षीकरण किन क्षेत्रों में प्रयोग होता है?
उत्तर: यह सांख्यिकी, इंजीनियरिंग, अर्थशास्त्र, जनसंख्या अध्ययन आदि क्षेत्रों में प्रयोग होता है।
Q4: रैखिक अन्तरापेक्षीकरण का सूत्र क्या है?
उत्तर: y = y₀ + [(x - x₀)/(x₁ - x₀)] × (y₁ - y₀)
Q5: क्या यह चैप्टर बोर्ड परीक्षा के लिए आवश्यक है?
उत्तर: हाँ, यह अध्याय बोर्ड परीक्षा के लिए महत्वपूर्ण है, विशेष रूप से UP Board में।
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